2008년 05월 25일
새롭게(?) 알게 된 것들. Leibniz의 정리, 미분기호는 분수식처럼...
공학수학을 공부하면서 새롭게(?) 알게 된 것이 있습니다.
1. 미분을 두 번하니 가운데에 무조건 계수가 2이네...(Leibniz의 정리)
이차미분방정식을 구하는 방법으로 power series를 쓰는 방법이 있습니다.
여기서는 y를 power series로 두고 이를 미분한 것 즉, y', y''등을 구하여
이를 미분방정식에 대입하여 문제를 푸는 방식입니다.
따라서 y''을 구하는 일이 많습니다.
그렇게 y''을 구할 때마다 신기한 것이 있었습니다.
곱의 형태인 경우 같은 형태가 양쪽에서 하나씩 나오기에
이를 더하여 계수가 2가 되는 것이 매번 나왔습니다.
'신기하구나...'라는 생각을 하면서 넘겼습니다.
그러다 퀴즈 준비를 하면서 좀 더 자세히 알아보고자
1학년 때 공부한 미적분학 책을 살펴보았습니다.
그런데 거기에 이런 정리가 있습니다.
Leibniz의 정리
x의 함수 u, v가 n번 미분가능이면
- 수학과 교재편찬위원회, <개정 미적분학>, 성균관대학교 출판부, 2004, pp. 50
역시 이미 정리로 나와있군요.^^;;
그런데 왜 저는 이걸 지금까지 몰랐던 것입니까?!!!OTL....
2. 미분기호는 분수식처럼 사용이 가능해요~
연습문제를 풀다가 난관에 부딪쳤습니다.
위의 식을 풀기 위해 어떻게 해야하는지 고민이었습니다.
곱의 미분이니 앞의 것을 미분하고 뒤의 것을 미분한 것을 더하면 되지만,
과연 du/dz를 x에 관해 미분한 값은 어떻게 해야하는지 몰랐습니다.
그래서 제가 문제를 잘못 풀었나 풀이집을 살펴보니 이렇게 나와있습니다.
제가 생각한 것이 맞는 듯싶습니다.
하지만 뒤의 항은 전체에 제곱을 한 꼴입니다.
왜 이런 결과가 나오는지 고민하였습니다.
그러다 문득 이 생각이 떠올랐습니다.
'위 공식을 배울 때 선생님이 미분표현은 분수식처럼 생각해서
dt가 서로 상쇄된다고 외우면 된다고 하셨다.
그럼 원래 식에서도 이 생각을 사용하면 되지 않을까?'
그래서 해보았습니다.
여기에 1/4 x^(-3/4)를 곱하게 되므로
풀이집에 나오는 형태와 동일함을 알 수 있었습니다.
혹시나 하는 생각에 반도체공학과인 룸메이트에게 물어보았습니다.
'미분표현 분수식처럼 사용할 수 있어?'
'네. 쓸 수 있어요.'
간단하고 명료한 답변이었습니다.OTL...
저는 해당 내용을 배울 때
위의 dy/dx = dy/dt dt/dx에서만 분수식처럼 사용가능하다고 이해하였습니다.
따라서 일반적으로 그렇지 아니하고 저 경우만 특별한 경우라 생각했습니다.
하지만 아니라는군요.OTL....
이 내용을 정석이나 미적분학 책에서 찾아보았지만 나오지 않았습니다.
그만큼 기본인가보군요.OTL.....
(아니면 제가 제대로 공부 안했다는 증거...;;;;)
여튼 최근에 새롭게(?) 알게 된 것입니다.
하지만 이미 제가 배운 것이었습니다.
사람이 살아가는데 필요한 것은 유치원 때 다 배운다고 하더군요.
어쩌면 제가 살아가는데 필요한 것은 다 배웠지만,
이를 제대로 받아들이지 못하는지도 모르겠습니다.^^ㅜㅜ
# by | 2008/05/25 23:57 | in Math | 트랙백 | 덧글(2)
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처음보는 내용이(쿨럭....;;)
근데 n계도함수를 저렇게 구하는것을 보니까
식이 고2때 배우는 이항정리와 똑같네요. 생각해보니까 결국 그렇게 되는게 맞긴하네요 ㅋ
그리고
dy/dx 라는 미분의 표현을
어떤 수학자가 표현을 했다고 하는데 그게 분수처럼 계산을 가능하게
하기 위해서 만들었다고 하더라구요..(근데 누구인지는 기억이 안나네요 ㅋ)
(역시 자기 전에 블로깅은 이런 결과를...)
이번에 이산수학을 배우면서 조합론적으로 이항정리를 얘기하더군요.
서로 다른 u와 v에서 n개를 택하는 방법이니 계수가 C(n,k)의 형태가 나온다는 것을...
생각해보니 곱의 미분 역시 같은 얘기이므로 조합론적으로 증명이 되겠더라구요.^^;;;;
그리고 dy/dx라는 표현이 분수식처럼 사용하기 위해서 일부러 만든 것이군요.OTL....
그것을 지금까지 몰랐다니...ㅜㅜ